İntegral ve türev, matematiğin temel kavramlarıdır ve genellikle birbirine karıştırılır. Bu nedenle, türevin ne olduğunu anlamak önemlidir. Türev, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değişim hızını ölçmek için kullanılırken, integral bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki toplam değişimini veya biriken değerini hesaplamak için kullanılır.

İntegral, Latince "toplam" anlamına gelir ve integral işareti "∫" bu kelimeden türetilmiştir. Bu işaret ilk kez Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından kullanılmıştır.

İntegral formülü genelde şu şekilde gösterilir:

F(x) = ∫ f(x) dx + C

Bu formülde, f(x) bir fonksiyonu, C ise integral sabitini temsil eder.

İntegral alma yöntemleri genellikle integrali alınacak fonksiyonun türevini bilmemenin getirdiği zorlukları aşmak için geliştirilmiştir. Bu yöntemler şunlardır:

Değişken değiştirme yöntemi, bir fonksiyonun integralini daha basit bir forma dönüştürmek için kullanılır. f(x) ve g(x) fonksiyonları belirli bir aralıkta sürekli ise, şu formül kullanılır:

∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du

Burada u = g(x) olarak tanımlanır ve her iki tarafın diferansiyeli alınırsa du = g'(x) dx olur. Bu durumda integral formülü şu hale gelir:

∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du

Bu integral hesaplandıktan sonra, u yerine g(x) yazılarak sonuç x'e göre bulunur.

Parçalı integrasyon yöntemi, iki fonksiyonun çarpımının integralini hesaplamak için kullanılır. u(x) ve v(x) fonksiyonları belirli bir aralıkta türevlenebilir ise, şu formül kullanılır:

∫ u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - ∫ v(x) u'(x) dx

Basit kesirlere ayırma yöntemi, rasyonel fonksiyonların integralini hesaplamak için kullanılır. Bu yöntemde, P(x) ve Q(x) polinomları kullanılarak şu şekilde işlem yapılır:

Q(x) = (a₁x + b₁)(a₂x + b₂)...(aₙx + bₙ) şeklinde çarpanlara ayrılırsa, rasyonel fonksiyon şu hale gelir:

{P(x) / Q(x)} = {A₁ / (a₁x + b₁)} + {A₂ / (a₂x + b₂)} + ... + {Aₙ / (aₙx + bₙ)}

Eğer P(x)'in derecesi Q(x)'in derecesinden büyük veya eşit ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna bölünür. Bölüm B(x) ve kalan K(x) ise, şu şekilde yazılır:

{P(x) / Q(x)} = B(x) + {K(x) / Q(x)}

Daha sonra bu ifadenin integrali alınır.

İntegral hesaplamaları, diferansiyel denklemler, fizik, istatistik ve mühendislik gibi birçok bilim dalında önemli bir yer tutar. Özellikle, alan hesaplamaları, hacim hesaplamaları ve kümülatif dağılım fonksiyonları gibi konularda integraller yaygın olarak kullanılır.