Delta Formülü
Delta formülü, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri hakkında yorum yapmamızı sağlayan bir bağıntıdır. Bu bağıntı yardımıyla bulduğumuz delta ile ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleminin köklerinin olup olmadığını, varsa köklerin ne olduğunu bulmakta işimize yarar.
Delta formülünü ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem için ifade edelim.
AX^2+B*X+C=0 denkleminde X^2'nin katsayısını 1 yapmak için denklemin her iki tarafını A'ya bölelim. X^2+B/A*X+C/A=0 elde edilir. Bir adım daha düzenlersek X^+B/A*X=-C/A'ya ulaşırız.
Bu denklemi tam kareye tamamlamak için; ortadaki terimin katsayısının yarısının karesi sabit sayıyı oluşturmalıdır. Bunu için her iki tarafa gereken terimi ekleyelim. X^+B/A*X+(1/2*B/A)^2=-C/A+(1/2*B/A)^2 olur.
Eşitliğin sol tarafı tam kare oldu, şimdi sağ tarafta payda eşitleme işlemi yaparsak; (X+B/2*A)^2=(B^2-4*A*C)/4*A^2 elde ederiz.
Şimdi ise her iki tarafın karekökünü alıp X'i yalnız bırakalım. X+B/2*A=±(B^2-4*A*C)^½/2*A bunu düzenlersek, X=-B/2*A±(B^2-4*A*C)^½/2*A elde edilir.
AX^2+BX+C şeklinde bir denklemi ele alırsak bunun için delta hesabı şu şekilde yapılır; D=B^2-4*A*C'dir. Hesaplanan bu delta değeri için çıkabilecek üç muhtemel sonuç vardır. - Delta sıfırdan büyük olabilir.
- Delta sıfıra eşit olabilir.
- Delta sıfırdan küçük olabilir.
Delta Değerine Göre Yapabileceğimiz Yorumlar- Delta sıfırdan büyük ise denklemimizin iki reel (Gerçel) kökü vardır.
Bu köklerden birincisi; (-B-D^½)/2*A, ikinci kökümüz ise; (-B+D^½)/2*A'dır. Burada çözüm kümesinin iki elemanlı olduğu yorumu da yapılabilir.
- Delta sıfıra eşit olduğunda ise çakışık iki kök vardır yorumu yapılmaktadır. Bu kök genelde tam kare ifadelerden elde edilir.
- Delta sıfırdan küçük olduğu durumlarda ise reel kök yoktur yahut da çözüm kümesi boştur yorumu yapılabilir.
Şimdide delta değerini hesapladıktan sonra bazı bağıntılara ulaşabiliriz. İki kökü olan bir denklem için kökler toplamını ve çarpımı için ele alırsak; kökler simetrik olduğundan toplarsak -B/A, çarpacak olursak C/A bağıntılarına ulaşabiliriz. Köklerin mutlak değerce farkını alacak olursak D^½/A değerine ulaşabiliriz.
Kompleks denklemlerde delta incelenecek olursa bu tür denklemlerin her zaman en az bir kökü olacağından delta ile ilgili iki durum söz konusu olur. Bunlardan birincisi deltanın sıfırdan farklı olduğu durumdur, ikincisi ise sıfıra eşit olmasıdır. Deltanın sıfıra eşit olduğu durumda denklemin kökü -B/2*A olur. Sıfırdan farklı olduğu durumda ise (-B±D)/2*A bağıntısından faydalanarak kökler bulunur.
20.01.2024 11:03:01
Delta Formülü ile ilgili bu madde bir taslaktır. Madde içeriğini geliştirerek Herkese açık dizin kaynağımıza katkıda bulunabilirsiniz. Sayfayı Düzenle
|
